dijous, 12 de novembre de 2015

Quan les mates es posen a dibuixar


És ben sabut que les equacions diferencials que regeixen el temps atmosfèric son molt ben conegudes (#repelent #setciències), i resolent-les podem predir el temps... Però (vaja, sempre hi ha un però) són equacions complexes de resoldre i a sobre inestables (ja ho deia ma mare que el temps és boig...). M'explico.

La solució a una equació diferencial depèn, a més de la funció que satisfà l'equació, de les condicions inicials i de contorn. Per exemple, per saber la posició actual d'un cotxe, cal saber la velocitat (derivada de la posició), l'acceleració (derivada de la velocitat) i ... la posició inicial! Què passa quan coneixem malament la posició inicial? Depèn. Si l'equació és estable, ens donarà un resultat semblant, no ens importarà gaire que hi hagi un petit error inicial. Però si és inestable, el resultat serà absolutament imprevisible; equivocar-nos una mica a la posició inicial pot fer que ens equivoquem de molt en la predicció. En meteorologia, que és inestable, no tenir en compte el vol d'una papallona a Brasil, pot originar un tornado a Texas... us sona? És l’efecte papallona que va formular Edward Lorenz el 1972.

Un últim comentari sobre el temps. No confonguem la previsió caòtica de la meteorologia amb
l’estudi del clima. No feu cas qui confongui la imprevisibilitat metereològica amb els dubtes sobre el canvi climàtic... (shi, shi, shi... mi primo, que esh catedrático de físhica dishe esho...).

Tornant a la seriositat pròpia d’aquest espai; tot aquest embolic es recull en la Teoria del Caos. No és un llibre, ni una peli; és una part de la matemàtica. Tal com dèiem, distingim solucions estables, que no varien gaire si les condicions inicials varien una mica (es belluguen al voltant d’un atractor), inestables (si s’allunyen de l’atractor) o caòtiques, que s’allunyen de l‘atractor, però hi van donant voltes. El temps, concretament té dos atractors, i les diferents solucions van voltant aquests atractors... dibuixant una papallona. És el conegut efecte papallona. Què, sorpresos, eh? Quina explicació és la correcta?
Vist el dibuixet, no és d’extranyar que algú es dediqui a buscar solucions, no per saber què passarà, si no pel plaer de veure dibuixets curiosos... alguns inclús n’han fet joies del tema... 


I ja que hem descobert dibuixets més o menys cuqis... en podem fer d’un altre tipus? Home, doncs si. Heu vist mai un fractal? De fet, què és un fractal? D’entrada és una forma geomètrica que té una sèrie de qualitats. Per exemple, la més notòria i sorprenent, l’autosimilitud. Això vol dir que s’assembla a si mateixa... #noésunatonteria és a dir, que a mesura que anem fent zooms, l’aspecte és el mateix. Per exemple, un bròcoli romanesc, o una esponja. Si ens acostem, té el mateix aspecte.

Una altra és el contorn infinit. Tot i que la forma geomètrica és de dimensió finita (les esponges o els bròcolis; el litorals del mar, o els núvols; son figures finites) el seu perímetre pot arribar a ser infinit. Això es deu a que la seva formulació es basa en una successió de termes fins a l’infinit... Es pot demostrar, de veritat.
Sigui com sigui, al final, les representacions que se’n fan d’aquests cossos acaben sent espectaculars; un altre exemple que ciència, ordinadors, i creativitat no han d’anar sempre a la brega, a vegades poden convergir. Com la superfície d’un fractal (veieu com, al final, tot quadra?)

El primer que les va formular matemàticament, i de les que se n’ha fet més representacions geomètriques, i per què no, artístiques, va ser el matemàtic Benoit Mandelbrot.



@jibonet